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    1、试题题目:(1)讨论函数f(x)=lnxx2(x∈[e-1,e])的图象与直线y=k的交点个数.(..

    发布人:繁体字网(www.virtu-host.com) 发布时间:2015-11-26 07:30:00

    试题原文

    (1)讨论函数f(x)=
    lnx
    x2
    (x∈[e-1,e])的图象与直线y=k的交点个数.
    (2)求证:对任意的n∈N*,不等式
    ln1
    14
    +
    ln2
    24
    +
    ln3
    34
    +…+
    lnn
    n4
    1
    2e
    总成立.

      试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数、映射的概念



    2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
    (1)由题意得:f′(x)=
    1-2lnx
    x3
    .令f'(x)=0,得x=
    e

    x∈(e-1,
    e
    )
    时,f'(x)>0,故函数f(x)在[e-1,
    e
    ]
    上递增;
    x∈(
    e
    ,e)
    时,f'(x)<0,故函数f(x)在[
    e
    ,e]
    上递减.
    又因为f(e-1)=-e2,f(
    e
    )=
    1
    2e
    ,f(e)=
    1
    e2
    ,所以当k>
    1
    2e
    或k<-e2时,没有交点;
    k=
    1
    2e
    -e2≤k<
    1
    e2
    时,有唯一的交点;当
    1
    e2
    ≤k<
    1
    2e
    时,有两个交点.
    (2)证明:由(1)知函数f(x)在(0,
    e
    )
    上递增,在(
    e
    ,+∞)
    上递减,
    故f(x)在(0,+∞)上的最大值为
    1
    2e

    即对x∈(0,+∞)均有
    lnx
    x2
    1
    2e
    ,故
    lnx
    x4
    =
    lnx
    x2
    ?
    1
    x2
    1
    2e
    ?
    1
    x2

    当n=1时,结论显然成立;当n≥2时,有
    ln1
    14
    +
    ln2
    24
    +
    ln3
    34
    +…+
    lnn
    n4
      
    =0+
    ln2
    22
    ?
    1
    22
    +
    ln3
    32
    ?
    1
    32
    +…+
    lnn
    n2
    ?
    1
    n2
    1
    2e
    (
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    )
     
    1
    2e
    (
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +…+
    1
    (n-1)?n
    )
    =
    1
    2e
    (
    1
    1
    -
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +…+
    1
    (n-1)
    -
    1
    n
    )
     
    =
    1
    2e
    (
    1
    1
    -
    1
    n
    )<
    1
    2e

    综上可知,对任意的n∈N*,不等式
    ln1
    14
    +
    ln2
    24
    +
    ln3
    34
    +…+
    lnn
    n4
    1
    2e
    成立.
    3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

        经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“(1)讨论函数f(x)=lnxx2(x∈[e-1,e])的图象与直线y=k的交点个数.(..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数、映射的概念”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数、映射的概念”。


    4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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